RELATIVITÀ - III)


di Paolo De Leonardis

La teoria di Einstein


parte terza

 

 

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MASSA INERZIALE E MASSA GRAVITAZIONALE

Il concetto di MASSA, fondamentale nella Fisica classica, aveva lasciato irrisolto un quesito per circa trecento anni. La Teoria della relatività lo ha risolto. Per fare chiarezza diamo le definizioni della MASSA INERZIALE e della MASSA GRAVITAZIONALE. Il concetto di Massa è stato introdotto per la prima volta con la seconda legge della dinamica da Newton. Essa afferma che la forza è uguale alla massa del corpo soggetto a quella forza per l'accelerazione che essa subisce.
In formula

F = m a (1)

Quindi la Massa è quella grandezza che misura l'inerzia, cioè la capacità dei corpi di opporsi alla variaione del loro stato di moto. In base alla legge possiamo affermare che, a parità di forza (F), un corpo di Massa maggiore subisce un'accelerazione (a) minore. In base alla seconda legge della Dinamica, chiameremo questa: MASSA INERZIALE.

La terza legge della Dinamica (Legge di gravitazione universale) afferma che due corpi dotati di Massa si attraggono con una Forza direttamente proporzionale al prodotto delle Masse dei due corpi ed inversamente proporzionale alla distanza al quadrato dei due corpi. Per cui quella che compare in questa legge è chiamata MASSA GRAVITAZIONALE.
In formula

F = (M m) (2)
        d²

Massa gravitazionale e Massa inerziale coincidono? In effetti il concetto di Massa proviene da due definizioni distinte. Quindi è lecito porsi la domanda se esse sono la stessa cosa oppure no.

Con la seconda legge della Dinamica effettuiamo un piccolo esperimento: spingiamo due carrelli di Masse differenti con la stessa Forza su binari privi di attrito: il carrello che subirà meno accelerazione avrà Massa maggiore.

L'altro esperimento, che conosciamo benissimo perché di uso quotidiano, è quello di mettere i corpi su una bilancia: quello che è soggetto ad una Forza di gravità (pesp) maggiore avrà un valore di Massa superiore.

La differenza tra i due esperimenti è che il primo è indipendente dalla Forza di gravità, mentre il secondo è soggetto ad essa. Newton, circa trecento anni fa, si pose questa domanda: se misuriamo le Masse in questi due modi otteniamo lo stesso risultato? La risposta sperimentale è affermativa. Newton trovò che lo scarto tra i due valori era di 10⁻³.

La migliore misura dello scarto calcolata ai nostri giorni è fissata al valore di 10⁻¹².

La MASSA INERZIALE e la MASSA GRAVITAZIONALE sembrano coincidere, ma questa conclusione è basata su osservazioni sperimentali e non su ragionamenti teorici. A questo punto interviene Einstein con la sua Teoria della relatività. Lo scienziato intuisce che l'uguaglianza tra Massa inerziale e Massa gravitazionale è un punto importante di riflessione per raggiungere nuovi livelli di conoscenza. Con l'enunciazione del PRINCIPIO DI EQUIVALENZA, Einstein chiarisce la teoria che si celava dietro le osservazioni sperimentali, ponendo fine all'annosa questione.

Il PRINCIPIO DI EQUIVALENZA stabilisce che la Massa inerziale e la Massa gravitazionale si equivalgono: Per comprendere questo Principio bisogna considerare gli esperimenti ideali perché impossibili da realizzare concretamente, che immaginò Einstein.

Primo esempio: l'ascensore di Einstein


Immaginiamo di essere dentro un ascensore dell'Empire Building di New York: premiamo un tasto per salire al 50° piano; l'ascensore comincia a salire. Ad un certo punto uno scossone: l'ascensore si blocca; subito dopo il cavo d'acciaio si spezza e l'ascensore inizia a precipitare. L'ascensore in questo momento si sta muovendo in caduta libera, con accelerazione di gravità. In formula

g = 9,81 (m)
               s²

Tutte le persone che sono all'interno dell'ascensore cadono con la medesima accelerazione; questo significa che le persone non poggiano i piedi sul pavimento dell'ascensore, ma galleggiano all'interno.

Secondo esempio: razzo spaziale

Siamo all'interno di una navicella spaziale nello spazio galattico, vediamo gli oggetti fluttuare nell'aria. Il comandante decide di accendere i motori e la navicella subisce un'accelerazione g. Che succede? Tutti gli oggetti contenuti nel razzo spaziale cadono sul fondo della navicella; noi stessi, poggiando i piedi sul pavimento, avvertiamo l'effetto della forza di gravità. Tutto all'interno della navicella si comporta come se fossimo fermi sulla superficie terrestre. Se ad una persona bendata all'interno della navicella che accelera chiedessimo: dove si trova? Ella non ne avrebbe la minima idea.

Conclusione

I due esempi proposti permettono di giungere all'essenza del PRINCIPIO DI EQUIVALENZA. Infatti non c'è modo di distinguere gli effetti della gravità da quelli prodotti da un sistema di riferimento accelerato. Quindi la Massa di un corpo che viene attratto dalla gravità terrestre (Massa gravitazionale) non può essere diversa da quella di un corpo soggetto ad un'accelerazione uguale a g in assenza di gravità (Massa inerziale). Quindi le due Masse sono identiche: ora lo si può affermare anche da un punto di vista teorico e non più solo sperimentale.

MASSA ED ENERGIA


Dalla equazione
     

                                                  (3),        considerando che si può procedere alla seguente approssimazione, se

 

 

           
            (4)         si ottiene


 

                                     (5)        moltiplicando entrambi i membri per     ed osservando che

 

                                                                       si trova

                                        (6)

 

Il termine

      è l'energia cinetica introdotta da Newton, il termine è l'energia a riposo, mentre il termine è l'energia totale.

In conclusione abbiamo

Energia totale = Energia a riposo + Energia cinetica.      (7)

Questa equazione esprime la relazione Massa-Energia di Einstein:


                                                                (8)

 

RELATIVITÀ GENERALE

Nella teoria generale della relatività si prendono in considerazione anche i campi gravitazionali, cioè anche le accelerazioni: Si dice che la teoria generale della RELATIVITÀ è una teoria della GRAVITAZIONE.

Seguiamo il seguente ragionamento: se ci troviamo in un laboratorio sulla Terra, una massa lasciata libera accelera verso il basso per effetto dell'attrazione gravitazionale della Terra. Spostiamo questo laboratorio nello spazio, lontano dall'effetto gravitazionale della Terra o di altro pianeta, e facciamolo spingere da un razzo. Se il valore dell'accelerazione del razzo a è uguale all'accelerazione gravitazionale terrestre g, il pavimento del razzo accelererà verso una massa lasciata libera. Un osservatore sul laboratorio, privo di finestre, non potrà distinguere l'accelerazione di gravità da quella dovuta alla spinta del razzo.

Einstein concluse questo ragionamento enunciando il principio di equivalenza di cui già si è parlato.

La concezione classica dello spazio e del tempo come enti separati deve essere superata. In base alla dilatazione del tempo e della contrazione della lunghezza (di cui già parlammo), Einstein concluse che "Nella Teoria generale della Relatività lo spazio e il tempo non possono essere definiti in modo tale che le differenze tra le coordinate spaziali possano venir direttamente misurate mediante il regolo campione scelto come unità di misura, e le differenze coordinate temporali possono venir direttamente misurate da un orologio campione".

Pertanto la forza di gravitazione diventa una forza radicalmente diversa dalle altre forze fisiche, in particolare dalle forze elettromagnetiche, poiché è l'unica che ha effetto sulla struttura geometrica spazio-tempo.

Mentre nella relatività ristretta la struttura geometrica dello spazio-tempo coinvolgeva soltanto le coordinate spaziali e temporali, la nuova struttura geometrica nella relatività generale doveva contenere anche la presenza delle masse che, con i campi gravitazionali da esse esercitati, vanno a deformare la struttura dello spazio-tempo.

Considerato un corpo non soggetto ad alcuna forza, nella relatività ristretta tale corpo si muove di moto inerziale, cioè di moto rettilineo uniforme. Nella relatività generale si ottiene lo stesso risultato solo in una zona ristretta non accelerata, oppure priva di campo gravitazionale.

Osservando il moto in un sistema generico, dovremmo tener conto dell'accelerazione dell'osservatore. Essendo il corpo non soggetto a forze, essa si muoverà lungo una curva detta geodetica, che viene percorsa andando avanti sempre nella stessa direzione. La geodetica non è una linea retta. Infatti se andiamo avanti sempre dritto sulla superficie terrestre, ritorniamo sul punto di partenza dopo aver percorso la circonferenza terrestre; sulla Terra le geodetiche sono archi di cerchio, non segmenti di retta.

Il moto di un pianeta intorno al Sole può essere interpretato come un moto inerziale nel campo gravitazionale solare che deforma lo spazio-tempo, cosicché la geodetica del pianeta è un'ellisse.

Conferme della teoria generale

Il perielio dell'orbita di Mercurio si muove nello spazio (precede) con una velocità maggiore di quella prevista da Newton. Einstein riuscì ad ottenere, sulla base della sua teoria generale, il valore di 43,03 secondi di arco/secolo. L'eccellente concordanza tra il valore osservato e quello calcolato è un importante successo della teoria generale. In altri termini il punto dell'orbita di Mercurio che è più vicino al Sole (perielio), così come quello che è più lontano, non rimangono fissi, ma si spostano lungo la traiettoria ellittica del pianeta; l'ellisse orbita di Mercurio ruota intorno al Sole e resta comunque fissa in uno dei due fuochi.

La teoria generale prevede che un raggio luminoso che passa vicino ad un oggetto di grande massa, segua una traiettoria leggermente curva. Si può comprendere questo risultato ricordando che la radiazione elettromagnetica, quindi anche la luce, ha un'energia e quindi anche una massa. Perciò un campo gravitazionale influenzerà il raggio luminoso e lo farà deflettere. Poiché la luce viaggia ad una velocità enorme (3 (10)⁸ m/s), l'attrazione è efficace solo per breve tempo, per cui la deviazione è minima anche se il raggio luminoso passa attraverso ad un oggetto di grande massa. La deflessione gravitazionale del raggio luminoso è stata misurata nell'osservazione dell'eclisse totale di Sole del 29 maggio 1919, che diede conferma della previsione di Einstein.

Lo spostamento verso il rosso delle righe spettrali emesse da una sorgente in un campo gravitazionale è la misura che ha fornito un risultato a sostegno della teoria della relatività. Un esperimento del 1959, che evidenziò lo spostamento delle righe di emissione nello spettro dei raggi gamma da parte di un campione radioattivo di ferro-57.

Onde gravitazionali

Secondo la teoria della relatività generale lo spazio-tempo viene deformato dalla presenza di massa ed energia. più la massa è grande, più la deformazione sarà rilevante. In conseguenza di ciò è la traiettoria non rettilinea dei pianeti in moto attorno al Sole.

Un evento che coinvolge spostamento di masse può generare un'onda trasversale che va a modificare lo spazio-tempo: chiameremo tale onda onda gravitazionale.

Un fenomeno che può farci comprendere le onde gravitazionali è la propagazione di un'onda meccanica su di una corda elastica: teniamo tesa la corda e facciamola oscillare da un estremo. Osserviamo che si genera un'onda trasversale (perpendicolare alla corda) in tutti i punti della corda, che si propaga dal primo estremo sino all'altro. Tornando alle onde gravitazionali, alla corda sostituiamo lo spazio-tempo; quindi ogni porzione di spazio-tempo oscilla trasversalmente in modo che la distanza spazio-tempo tra due punti oscilla intorno al valore di equilibrio esistente, prima di essere investita dall'onda gravitazionale. Naturalmente non è possibile riprodurre in laboratorio eventi che producano onde gravitazionali, visto le masse enormi necessarie.

Il 14 settembre 2015 il nostro pianeta è stato investito da un'onda gravitazionale dovuta alla nascita, avvenuta a 1,3 miliardi di anni luce di distanza, di un buco nero di massa 62 volte quella del Sole. Il nuovo buco nero è derivato dalla fusione di due buchi neri ciascuno di massa 30 volte quella del Sole. In questa fusione si è irradiata sotto forma di onde gravitazionali una quantità di energia equivalente ad una massa tre volte quella del Sole.



 

 

 

 

 

Fine