RELATIVITA' - I)

di Paolo De Leonardis

La teoria di Einstein


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Nel 1905 Albert Einstein (1879 - 1955) pubblicò la sua terza memoria: Elettrodinamica dei corpi in movimento, fondando le basi della teoria della relatività. Essa stabiliva il legame tra la meccanica e l'elettromagnetismo: le due grandi teorie della fisica classica. Eliminò le apparenti discrepanze tra la dinamica dei sistemi meccanici e quella dei sistemi elettromagnetici, basando la nuova teoria su due postulati:
1° - Tutte le leggi fisiche sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento inerziali.
2° - La velocità della luce (nel vuoto) è la stessa per ogni osservatore in un sistema di riferimento inerziale, qualunque sia il moto relativo tra la sorgente luminosa e l'osservatore.

La teoria basata su questi due postulati, che è valida per tutti i sistemi non soggetti ad accelerazione, si chiama Teoria ristretta della relatività. Il caso dei sistemi soggetti ad accelerazione è argomento della Teoria generale della relatività. Facciamo un esempio: supponiamo che un aereo viaggi ad una velocità v = 900 Km/h rispetto al sistema inerziale Terra; se un cannone montato sull'aereo spara un proiettile nella stessa direzione e verso l'aereo con velocità u = 700 Km/h, per un osservatore sulla Terra la velocità del proiettile sarà secondo Newton V = v + u = 1600 Km/h.

Se la velocità dell'aereo fosse v = 0,5 c (ove c = 300.000.000 m/s velocità della luce) e sparasse invece del proiettile un impulso di luce u = c, secondo la teoria classica avremmo V = u + v = 1,5 c. Ma ciò è impossibile in quanto il valore della velocità massimo è quello della luce, cioè c. In effetti la velocità dell'aereo non influisce sulla velocità dell'impulso di luce che viaggerà a velocità c.

Si è fatto un esperimento a tal proposito, usando un potente acceleratore di particelle per produrre un fascio di mesoni neutri di altissima velocità. Queste particelle hanno la proprietà di decadere spontaneamente in fotoni (raggi gamma). La velocità dei mesoni risultò essere Vπ = 0,99975 c, mentre la velocità dei fotoni risultò vγ = c. Questa è una verifica della validità del 2° postulato di Einstein.

Il mesone è una particella la cui massa è intermedia tra quella dell'elettrone e quella del protone. Si conoscono diversi tipi di mesoni: il mesone a cui è dovuta la forza nucleare forte ha una massa pari a 273 volte quella dell'elettrone e si chiama mesone (π) oppure pione. Nella nostra esperienza siamo abituati a considerare gli eventi collocandoli nel tempo, stabilendo che siano avvenuti nel passato, presente o futuro, oppure simultaneamente. Einstein dimostra che lo stesso avvenimento per due osservatori può essere collocato nel tempo in modo diverso.

Consideriamo questo esempio dovuto allo stesso Einstein: nella figura 1a un osservatore
K vede due fulmini colpire le estremità di una carrozza ferroviaria in moto nel momento in cui la carrozza nel suo punto medio lo oltrepassa. Poiché K è equidistante dagli estremi della carrozza, vede simultaneamente i lampi di luce. K' che si trova sulla carrozza nel suo punto medio è un osservatore stazionario in un sistema di riferimento inerziale (carrozza ferroviaria). Sa che entrambi i raggi di luce viaggiano con velocità c nel suo sistema di riferimento, poiché il lampo B lo raggiunge prima (si sta spostando in direzione di B). Egli conclude che il lampo B sia avvenuto prima del lampo A. Concludendo, due lampi (lo stesso avvenimento) sono collocati nel tempo in modo diverso dai due osservatori: K li colloca simultaneamente, mentre K' vede il lampo B precedere il lampo A. Se K avesse visto il lampo A precedere il lampo B, K' comunque avrebbe visto il lampo B precedere il lampo A.


In che modo influisce sulle misure del tempo che essi percepiscono il fatto che i due osservatori siano in moto relativo? Facciamo il seguente esperimento: ad una distanza L dall'origine lungo l'asse y collochiamo uno specchio S. Nell'origine collochiamo un lampeggiatore e rilevatore di luce. Stabiliamo che l'unità di tempo sia l'intervallo di tempo che la luce impiega per percorrere la distanza O-S-O. Se l'osservatore K fa funzionare il lampeggiatore nell'istante t = 0, trova che l'impulso luminoso compie il tragitto O-S-O nell'unità di tempo.

Formula 1          
t = (2L)
                                c
Un orologio identico è installato sui sistemi K e K'. Il sistema
K' passa davanti al sistema K con una velocità v lungo l'asse x. Νell'istante in cui O e O' coincidono, ιl lampeggiatore del sistema K' si mette in funzione (t' = 0). Poiché il sistema K' si muove rispetto a K, l'osservatore K vede che il lampo di luce deve viaggiare da O' a S' su un percorso inclinato che è più lungo del percorso seguito dal lampo di luce dell'orologio K. L'intervallo di tempo t' si completa quando il lampo di luce riflesso raggiunge O' avendo seguito pertanto il percorso OPO'. Durante questo tempo l'origine O' si è allontanata di una distanza vt' da O. Per confrontare gli intervalli di tempo t e t' applichiamo il teorema di Pitagora sul triangolo OS'O', oppure sul triangolo OPP'.

t = (2L)
     c

Ricavando L e sostituendo nella formula seguente

       si ottiene
        dividendo per 4 si ottiene
           

trasportando a primo termine t' ed evidenziando t2 si ottiene

ricavando t' si ottiene

    sostituendo v = β si ottiene
 c

L'intervallo di tempo campione t' dell'orologio K', visto dall'osservatore K è più lungo dell'intervallo dell'orologio K. Quindi l'osservatore K giunge alla conclusione che l'orologio K' è più lento del proprio orologio.

Possiamo concludere con questa regola generale:
ogni osservatore stazionario rileverà che un orologio in moto relativo rispetto al proprio sistema di riferimento andrà più adagio.

Consideriamo la dilatazione del tempo nel moto dei pioni. Osservati in quiete essi hanno vita media di τn = 2,6 (10 -8) s, prima di decadere in altre particelle elementari. Se i pioni si muovessero con la velocità di 0,75 c, essi percorrerebbero, prima di decadere, una lunghezza
lπ = ντn = (0,75 (3) (108) m/s) ((2,6) 10-8 s) = 5,85 m.

Nel ciclotrone è stato prodotto un fascio di pioni con
ν = 0,75 c, e si è trovato che la distanza media percorsa prima di decadere non è 5,85 m, ma è compresa tra (85 - 0,6) m <l< (8,5 + 0,6) m.

Poiché i pioni si muovono nel sistema di riferimento del laboratorio (corrispondente al nostro sistema K), l'osservatore del laboratorio vede che ogni orologio solidale con il sistema che si muove con i pioni (sistema K') va più lentamente. In realtà il suo valore è

La distanza media percorsa dai pioni, in laboratorio, prima di decadere, risulta essere:
l lab = ντlab = 0,75 (3) (108) m/s (3,9) (10 -8) s = 8,8 m

che è in accordo con il valore compreso tra  (8,5 - 0,6) m <llab< (8,5 + 0,6) m.

Consideriamo il decadimento dei pioni dal punto di vista di un osservatore che si muova insieme ad essi (sistema K'). Per l'osservatore inerziale, i pioni hanno una vita media di 2,6 (10-8) s e percorreranno 5,85 m.

Ma la distanza media misurata in laboratorio è di 8,8 m. Abbiamo due valori per la distanza fisica, benché essa, misurata sia nel sistema di riferimento dei pioni che in quello a riposo fosse la stessa. Si deve concludere che anche la lunghezza della distanza subisce una contrazione: un osservatore nel sistema di riferimento dei pioni vede la distanza media percorsa dai pioni di 5,85 m.

La lunghezza l' di un oggetto in moto relativo per un osservatore sul sistema di riferimento in movimento, risulta contratta rispetto alla lunghezza l (stesso oggetto) per un osservatore nel sistema inerziale

sostituendo i valori a l' e β si ottiene

 

 

 

 

 

1 - continua